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システムエンジニアの基礎知識

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  システムエンジニアは,様々なシステムの分析,設計,運用などに携わる技術者です.従って,システムエンジニアには,対象とするシステム固有の知識と共に,システムの分析,設計,運用方法等に関連する知識が必要となります.ここでは,システムエンジニアにとって必要な,特に数学的な知識の一部について概説します.できる限り数学的な厳密さを犠牲にし,その意味するところを理解し,それらを実際の場面で利用できることを目的としました.そのため,結果の導出過程や定理の証明等はほとんど行っていません.なお,高校以前の数学に自信の無い方は基礎数学(高校数学)も参考にしてください.

  また C/C++ と Java によるプログラム例もできるだけ多く記述しておきました.これらのプログラミング言語に関しては,「C/C++ と Java」を参考にして下さい.

目次(索引

  1. システム工学

    1. 1.システム工学とは
    2. 2.情報システム工学
    3. 3.システム工学の手順
    4. 4.システムエンジニアに必要な知識

    数学的基礎  以下のページを理解するために必要な数学的な基礎知識ですが,「代数系」,「ブール代数」,及び,「記号論理学」に関しては,読み飛ばしてもらっても構いません.

      代数系と記号論理学
        集合と写像
          1.集合
            1.1 集合の定義
            1.2 集合の諸性質
          2.関係
          3.写像
        代数系
          1.代数系
          2.代数系の種類
            2.1 群
            2.2 環
            2.3 体
            2.4 束
        ブール代数
          1.ブール代数の性質
          2.ブール関数
        記号論理学
          1.命題論理学
            1.1 命題論理とブール代数
            1.2 論理式の解釈
            1.3 論理式の標準形
            1.4 論理的帰結と推論
              A 否定式
              B 肯定式
              C 三段論法
          2.述語論理学
            2.1 述語論理
            2.2 論理式の解釈
            2.3 論理式の標準形
              2.3.1 冠頭標準形
              2.3.2 節形式
            2.4 導出原理
      線形代数
        1.ベクトル( Vector )
          1.1 定義とその演算
          1.2 ベクトル空間と基底
          1.3 内積と外積
        2.行列( Matrix )
          2.1 定義
          2.2 様々な行列
          2.3 行列の演算
        3.行列式
          3.1 偶順列と奇順列
          3.2 行列式の定義
          3.3 行列式の性質
          3.4 行列式の展開
        4.連立1次方程式と逆行列
          4.1 連立一次方程式の解法 −掃き出し法(ガウスの消去法)−
          4.2 逆行列の定義
          4.3 逆行列の求め方
          1. 4.3.1 掃き出し法
          2. 4.3.2 余因子の利用
        6.行列とベクトル
          5.1 行列の階数
          5.2 線形写像(線形変換)
          5.3 アフィン変換
        6.行列の対角化
          6.1 固有値と固有ベクトル
          6.2 行列の対角化
          6.3 二次形式
      微分積分
        1.関数の極限と連続性
        2.微分法
          2.1 微分法:定義と公式
          2.2 導関数の応用
          2.3 偏微分
        3.積分法
          3.1 積分法:定義と公式
          3.2 置換積分法と部分積分法
      確率と統計
        1.順列・組合せ
          1.1 順列・組合せ
          1.2 二項定理
        2.確率
          2.1 事象
          2.2 確率の定義
        3.確率変数
          3.1 確率変数
          3.2 平均と分散
          3.3 確率分布
            3.3.1 離散型分布
            3.3.2 連続型分布
            3.3.3 多変量確率分布
        4.統計
          4.1 統計的推定
            4.1.1 標本と母集団
            4.1.2 中心極限定理
            4.1.3 区間推定法
          4.2 統計的検定
            4.2.1 仮説検定
            4.2.2 母平均の検定
            4.2.3 母平均の差の検定
            4.2.4 母分散及び等分散性の検定

    数値計算

      1.連立 1 次方程式と逆行列
        1.1 ガウス−ジョルダンの消去法
      2.非線形方程式
        2.1 二分法
        2.2 Newton 法
        2.3 セカント法
      3.代数方程式と行列の固有値・固有ベクトル
        3.1 ベアストウ法
        3.2 行列の固有値(フレーム法+ベアストウ法)
        3.3 実対称行列の固有値・固有ベクトル(ヤコビ法)
        3.4 最大固有値と固有ベクトル(べき乗法)
      4.数値微分
      5.数値積分
        5.1 台形則
        5.2 シンプソン則
      6.常微分方程式
        6.1 ルンゲ・クッタ法
      7.補間法
        7.1 ラグランジュ補間法
        7.2 スプライン補間法
        7.3 ベジエ曲線

    システムの最適化

      はじめに
      1.線形計画法(LP : Linear Programming)
        1.1 図による解法
        1.2 単体法(シンプレックス法)
        1.3 単体表の使用
        1.4 基底可能解の求め方
      2.非線形計画法(NP : Nonlinear Programming)
        2.1 非線形計画法の一般形
        2.2 基本アルゴリズム
        2.3 1 次元探索手法
          2.3.1 黄金分割法
          2.3.2 2 次多項式近似による方法
        2.4 最急降下法(steepest descent method)
        2.5 共役勾配法(conjugate gradient method)
        2.6 Newton 法
        2.7 準 Newton 法
        2.8 シンプレックス法
      3.組合せ最適化
        3.1 分枝限定法
          3.1.1 分枝操作と限定操作
          3.1.2 アルゴリズム
          3.1.3 分枝限定法の適用例
        3.2 近似解法
        3.3 人工知能的手法
          3.3.1 状態空間による問題の表現
          3.3.2 探索方法
      4.遺伝的アルゴリズム
        4.1 基本的用語
        4.2 アルゴリズム
        4.3 スキーマ定理
        4.4 GAの適用例
          4.4.1 「1」の数
          4.4.2 関数の最大値
          4.4.3 巡回セールスマン問題
      5.動的計画法
        5.1 最適性の原理
        5.2 動的計画法の適用例(資源配分問題)

    システムのモデルとシミュレーション

      1.システムのモデル
      2.微分方程式モデル
        2.1 物理システムの微分方程式による記述
        2.2 微分方程式の解析解
          2.2.1 解析解の求め方
          2.2.2 特性方程式の解とシステムの挙動
        2.3 シミュレーション(微分方程式の数値解)
        2.4 具体例
      3.待ち行列モデル
        3.1 待ち行列
          3.1.1 確率過程
          3.1.2 待ち行列システム
          3.1.3 待ち行列システムの解析
        3.2 乱数とモンテカルロ法
          3.2.1 乱数の生成
          3.2.2 種々の分布に従う乱数
        3.3 待ち行列問題のシミュレーション

    在庫管理

      1.在庫管理問題に関係する要因
      2.在庫管理問題
      3.確定需要,従属的
        3.1 基本モデル
        3.2 ロットサイズ決定問題
      4.不確定需要,独立的
      5.不確定需要,従属的

    スケジューリング

      1.繰り返し型スケジューリング
      2.プロジェクトスケジューリング(PERT/CPM)
        2.1 プロジェクトスケジューリング
        2.2 PERTネットワーク

    予測

      1.平均による予測
      2.最小 2 乗法による予測

    意思決定とゲームの理論

      1.確率的(既知)
      2.確率的(未知)
      3.ゲームの理論
        3.1 純粋戦略
        3.2 混合戦略

    システムの信頼性

      1.信頼性
      2.信頼性とシステムの構造

    多変量解析

      1.多変量解析とは
      2.重回帰分析
      3.正準相関分析
      4.主成分分析
      5.因子分析
      6.判別分析
      7.クラスター分析
        7.1 類似度と距離
        7.2 クラスター構成方法
      8.分散分析
        8.1 一元配置法
        8.2 二元配置法
      9.多変量解析と数量化

    ニューラルネットワーク

      1.基本構造
      2.パーセプトロン
      3.Winner-Take-All
      4.競合学習
      5.Hopfield ネットワーク
      6.バックプロパゲーション
      7.深層学習(ディープラーニング)

    ファジイ

      1.ファジイ集合
      2.ファジィ集合の性質
      3.ファジイ推論
      4.ファジイ推論と内挿

    制御システム(制御系)

      1.制御とは
      2.制御システムのモデル
        2.1 伝達関数モデル
          2.1.1 ラプラス変換
          2.1.2 伝達関数とブロック線図
        2.2 状態方程式モデル
          2.2.1 状態方程式
          2.2.2 可観測性と可制御性
      3.制御システムの特性
        3.1 システムに要求される特性
        3.2 システムの過渡応答
          3.2.1 ラプラス変換と微分方程式の解
          3.2.2 過渡応答とシステムの特性
          3.2.3 安定判別
          3.2.4 状態方程式の解
        3.3 システムの周波数応答
          3.3.1 周波数応答
          3.3.2 ボード線図
          3.3.3 周波数応答とシステムの特性
      4.制御システムにおける基本要素
        4.1 比例要素
        4.2 積分要素
        4.3 微分要素
        4.4 一次遅れ要素
        4.5 二次遅れ要素
        4.6 むだ時間要素
        4.7 PID 制御

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