直角双曲線

home 数学メモ

反比例の関係を表すxy=k(k≠0)のような関係をx軸y軸平面に描くと、図のような直角双曲線となる。
kの値によって違う線となるが、いずれもx=0(y軸)とy=0(x軸)に限りなく近付く形となる。この限りなく近付かれる線を漸近線と呼び、二本の漸近線が直交している双曲線を特に直角双曲線という。

漸近線がx軸、y軸に平行な直角双曲線を一般化すると、(1)式のようになる。

この場合、xが限りなく大きくなると、(1)式はcに近付く。またyが限りなく大きくなるという事は、cが定数だから、xが-aに近付く(分母が0に近付く)という事になる。
従って、(1)式による直角双曲線の漸近線は、x軸に平行なものはy=c、y軸に平行なものはx=-aとなる。
逆に漸近線が指定されて、直角双曲線の方程式を求める問題も、この関係を使って解く事が出来る(bは未知となるが、もう一つ或る点を通る、等の条件があれば、その座標をx、yに代入して成り立つ等式からbを求める事が出来る)。
以下は例である。(2)式からx=-2、y=1の直線が漸近線になる事が分かる。

(3.1)式の形の式の場合、(3.2)のように変形すると、yが限りなく大きくなるためには、xが-aに近付く事、xが限りなく大きくなるには、yが-bに近付く事が分かる。
従って、x=-a、y=-bが漸近線となる。

以下のように、分母と分子にxがある場合(kは定数とする)、分母だけにxが来るように変形できれば、直角双曲線のグラフが描ける。
(まず、分子に-k+kを足して、分母と割れる部分を作り出している)

この場合、x>-kの範囲では、xが大きくなるに連れてf(x)は-1に近づき、xが-kに近づくに連れて、f(x)は大きくなっていく。
さらに直角双曲線の形を把握するには、x>-kの範囲でf(x)の一時導関数が負である事、次第に右下がりの接線がx軸に平行に近づくのを確認するには、f(x)の二次導関数が正である事を確かめればよい。