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集合と写像

  1. 1.集合
    1. 1.1 集合の定義
    2. 1.2 集合の諸性質
  2. 2.関係
  3. 3.写像
1.集合

  集合は,数学,特に代数の基本になっている概念です.集合は,簡単にいえば,ものの集まりです.なぜ,そのようなものが,重要な概念になってくるのでしょうか.

  我々は,あまり深く考えずに,加減乗除などの演算を行っています.しかし,その背景では,どのような数(の集合)に対して,どのような演算があり,演算結果はどのような数(の集合)になるのかなど,厳密な定義がなされています.実際,集合やその上に定義される演算が異なっていれば,異なる代数系(代数の世界)が生成されます.例えば,ブール代数は,0 と 1 だけの要素からなる集合の上に定義された代数系ですが,通常の演算の世界と同じような形で定義されています.

  また,後半に述べるように,関数においても集合の概念は重要です.関数は,2 つのものの間の関係を示したものですが,それらのものがどのような集合に属するのかを定義しておく必要があるからです.

1.1 集合の定義

[定義] ある定まった範囲にある対象をひとまとめにしたものを集合( set )といい,集合を構成する一つ一つの対象を集合の要素あるいはという.一般に,x が集合 A の要素であるとき,

x ∈ A

と表す.また,逆に,A の要素でないときは

x ∈/  A

と表す.

  集合の例として,以下のようなものがあげられます.

例1.1: 集合 A は,1 から 5 までの整数の集まりです.

A = {x | x は整数で,かつ,0 < x < 6}

この例のように,要素の数が有限の集合を有限集合といいます.また,要素の数が無限の集合を無限集合といいます.有限集合の場合,次のように,要素を羅列して集合を表すこともできます.

A = {1, 2, 3, 4, 5}

例1.2: 以下の 2 つは,無限集合の例です.

Z = {x | x は 1 以上の整数}   自然数の集合
R = {x | x は実数}   実数の集合

  集合にとって重要なのは,あるものが与えられたとき,それが集合の要素か否かを明確に判断できなくてはいけません.例えば,以下に示すものは,集合のように見えても集合ではありませんファジイ集合参照).

E = {x | x は袋井に近い市町村}
F = {x | x 小さい整数}

  集合 X に含まれるすべての要素 x が,集合 Y に含まれるならば,また,そのときに限って,集合 X は,集合 Y に含まれる(集合 X は,集合 Y の部分集合である)といいます.このことを形式的に記述すると,以下のようになります.また,図を使用して表現すると右図のようになります(このような図を,ベン図と呼びます).

X ⊂ Y ⇔ ∀x ∈ X ならば x ∈ Y

ここで,記号「∀」は,「すべての」と読み,「∀x ∈ X」によって,「集合 X に含まれるすべての要素」を意味します.同様に,2 つの集合が等しいことは,以下のようにして定義できます.

X = Y ⇔ ∀x ∈ X ならば x ∈ Y,かつ,∀y ∈ Y ならば y ∈ X
        (X ⊂ Y,かつ,Y ⊂ X)

例1.3: X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3}, Z = {1, 2, 3, 5} とします.このとき,以下のようなことが言えます.

X = Y (X と Y は等しい)
X ⊂ Y (X は Y の部分集合)
Y ⊂ X (Y は X の部分集合)
X ⊂ Z (X は Z の部分集合)
Y ⊂ Z (Y は Z の部分集合)

  部分集合に対して,対象としているすべての要素を含む集合を全体集合といいます.また,一つも要素を含まない集合を空集合と呼び,φで表します.

[定義] 2 つの集合X,Y について,そのどちらかに含まれる要素からなる集合を X と Y の和集合といい,

X ∪ Y (= {x | x ∈ X,または,x ∈ Y})

と表す.X と Y の両方に含まれる要素からなる集合を X と Y の共通集合積集合)といい,

X ∩ Y (= {x | x ∈ X,かつ,x ∈ Y})

と表す.また,X の部分集合 E について,X の要素で E に含まれない要素の集合を E の補集合といい,Ec で表す.形式的に,全体集合 X と空集合 φ について

Xc = φ
φc = X

とする

  上の定義で述べた関係をベン図で表現すると,以下のようになります.

  また,以下の定義も重要です.

[定義] 集合 S1 の要素 x と集合 S2 の要素 y を,この順に順序づけた組 (x, y) 全体がつくる集合を S1 と S2直積直積集合)といい,S1×S2 とかく.

例えば,2 次元平面における座標 (x, y) は,集合 S1 及び S2 が共に実数の集合 R である場合の直積になります.

1.2 集合の諸性質

  以下に述べる集合の諸性質において,

X : 全体集合
E, F, G : X の任意の部分集合

とします.

  1. 可換律
    E ∪ F = F ∪ E
    E ∩ F = F ∩ E

  2. 結合律
    E ∪ ( F ∪ G ) = ( E ∪ F ) ∪ G
    E ∩ ( F ∩ G ) = ( E ∩ F ) ∩ G

  3. 分配律
    E ∪ ( F ∩ G ) = ( E ∪ F ) ∩ ( E ∪ G )
    E ∩ ( F ∪ G ) = ( E ∩ F ) ∪ ( E ∩ G )

  4. 二重否定律
    ( Ec )c = E

  5. 排中律
    E ∪ Ec = X

  6. 矛盾律
    E ∩ Ec = φ

  7. ド・モルガン律
    ( E ∪ F )c = Ec ∩ Fc
    ( S ∩ F )c = Ec ∪ Fc

2.関係

  2 つの成分 a,b を ( a, b ) のように並べたものを順序対と呼びます.また,順序対の第 1 成分 x が集合 S1 の要素,第 2 成分 y が集合 S2 の要素であるとき,順序対 ( x, y ) のすべての集合を,2 つの集合 S1,S2直積直積集合)と呼び,S1 × S2 のように記述します.

  今,2 つの集合 S1,S2 が各々自然数の集合であったとします.直積集合の要素のうち,第 2 成分が 第 1 成分の倍数になっている要素,たとえば,( 2, 4 ),( 3, 6 ) のような要素のすべての集合 M を考えます.明らかに,集合 M は,直積集合 S1 × S2 の部分集合となっています.このような部分集合 M を,S1 から S2 への関係( relation )と呼びます.この例の場合は,関係 M は「 y が x の倍数である関係」となり, ( x, y ) ∈ M であることを,

x M y

と記述します.

  関係は,上の例のように,数値的なものだけに定義されるわけではありません.今,A 及び B を,各々,A 町及び B 町の住人の集合とします.このとき,A 町の住人と B 町の住人との友人関係 M を定義できます.たとえば,太郎は A 町の住人,次郎,三郎,及び,花子が B 町の住人であり,次郎及び三郎は太郎の友人であり,花子は友人でなかったとします.このような場合,友人関係 M によって,

太郎 M 次郎,太郎 M 三郎

のように記述できます.つまり,(太郎,次郎) ∈ M,(太郎,三郎) ∈ M となりますが,(太郎,花子) は M には含まれません.

3.写像

  「写像」は,関係の特別なものです.集合 S1 から 集合 S2 への関係 M が次の条件を満たすとき関係 M を写像( mapping, map )と呼びます.

1) S1 の任意の元 x は必ず S2 のある元 y に関係する.
2) 1つの x が異なる 2 つ以上の y に関係しない.

厳密に写像を定義すると,以下のようになります.

[定義] S1, S2 を集合とするとき,S1 の任意の要素を S2 の 1 つの要素に対応させる規則 φ を,S1 から S2 への写像とよび,

φ : S1 → S2

と書く.このとき,S1 を φ の定義域,S2値域という.また,S1 の要素 x が S2 の要素 y に対応することを

φ : x |→ y

と書く.y は φ(x) とも書かれ,φ(x) を x の,x を y の原像という.

  上の定義によると,先に述べた友人関係 M は写像ではありません.しかし,

a) 集合 A を B 町に友人を持っている人だけに限定する
b) B 町に持っている友人に対して,何らかの条件を付加し,1 名だけに限定する

のような修正を加えれば,友人関係 M は写像となります.

  また,普段我々が使用している関数はまさに写像そのものです.例えば,

y = f(x) = x2 + 1

という関数について考えてみます.この関数において,変数 x に任意の実数を代入すれば,関数値 y (実数値)が得られます.つまり,関数(規則) f は,定義域と値域が共に実数の集合 R である写像となっています.従って,この関数を写像の定義に従った書き方をすれば以下のようになります.

f : R → R
f : x |→ y = x2 + 1

関数によっては,多値関数( ある x に対して複数の y の値を持つ関数)のように,そのままでは写像の条件を満たさない場合もありますが,上で述べた友人関係のように,定義域や値域を適当に再設定してやれば写像の条件を満たすように定義可能です.

  関数は,関係の特別な場合ですから,関係としての表現も可能です.上の例の場合,「 y = x2 + 1 」となる関係を M とすれば,この関数は,

( 2, 5 ),( 1, 2 ),(1.5, 3.25 ),・・・ ∈ M

のように,直積集合 R × R の部分集合 M に含まれる要素の集合と同等なものとなります.

  次に,関数 f(x) と同様,定義域と値域を R とした関数,

y = g(x) = x + 1
y = h(x) = x3 + 3x2

という関数について考えてみます.これらの関数は,先に述べた関数 f(x) と共に図示すれば,右のようになります.

  いずれの関数においても,x の値が決まれば y の値が決まる点では同じです.しかし,関数 g(x) においては,任意の y を与えたとき,x の値は一意に決まりますが,関数 h(x) や f(x) においては,必ずしも一意とは限りません.例えば,右図からも明らかなように,y の値が 2 となる x の値は複数個存在します.さらに,関数 f(x) においては,1 未満の y に対応する x の値は存在しません.このように,関数(写像)毎に,定義域と値域との関係が異なってきます.この点に関する定義が,以下に示すものです.この定義に従えば,関数 g(x) は全単射,関数 h(x) は全射ではあるが単射ではない,また,関数 f(x) は全射でも単射でもないことになります.

[定義] 写像 φ : S1 → S2 について,任意の x1,x2 ∈ S1 に対し,x1 ≠ x2 ならば,φ(x1) ≠ φ(x2) であるとき,φ は 1 対 1 の写像,または,単射であるという.また,写像 φ : S1 → S2 が,すべての y ∈ S2 に対し,φ(x) = y となる x ∈ S1 をもつとき,φ は S1 から S2 の上への写像,または,全射という.写像 φ が全射で単射であるとき φ は全単射という.

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