予測

1. １．平均による予測
2. ２．最小 2 乗法による予測

１．平均による予測

　　時系列データから先のデータを予測する方法の内，最も簡単な方法は，過去のデータの平均値を使用する方法です．平均値を利用する方法としては，以下のような方法があります．なお，以下の説明において，d_i を過去，または，新しく得られたデータ，D_i を予測値とします．

1. 単純平均法
   　　過去のデータ，

   d_i　　　i = 1, 2, ･･･, n
   の平均値，

   D = Σ d_i / n
   によって，予測する方法です．

   移動平均法

   　　時間の経過と共に，平均の対象とするデータを徐々に変更していく方法です．例えば，3 つのデータを平均する場合は，以下のようになります．

   d₁, d₂, d₃　→　D₄ = (d₁ + d₂ + d₃) / 3

   d₂, d₃, d₄　→　D₅ = (d₂ + d₃ + d₄) / 3

   　　　　　　　　・・・・・

   簡易指数平均法

   　　時間の経過と共に，対象とするデータに重みを付けて平均を取っていく方法です．具体的には，以下の式に従って，予測値を計算します．

   新予測値 = α (新しいデータ) + (1 - α) (旧予測値)

   例えば，以下のようにして計算します．

   D₁ = d₁

   D₂ = α d₂ + (1 - α) D₁

   D₃ = α d₃ + (1 - α) D₂

   　　　　　・・・・・

   α の値としては，最初，0.3 前後を使用し，落ち着いた時点で再設定をするという方法が良く使用されます．

２．最小 2 乗法による予測

1. 直線のあてはめ
   　　過去のデータ，

   x₁　y₁
   x₂　y₂
   　・・・
   x_n　y_n
   から，これらのデータに最も合う直線，

   y = ax + b　　　(1)
   を求め，得られた直線から予測を行う方法です（この直線を，回帰直線と呼びます）．直線を決めるために，最小 2 乗法が使用されます．最小 2 乗法は，誤差の 2 乗の和，

   s = Σ (y_i - ax_i - b)²
   　= [y - Az]^T[y - Az]　　　(2)
   ただし，

   y = [y₁ y₂ ･･･ y_n]^T

   z = [a b]^T

   

   を最小にするように，(1) 式の a, b を決定する方法です．具体的には，(2) 式を z で微分し，0 と置くことによって，以下の結果が得られます．

   ∂s/∂z = -2A^T[y - Az] = 0　　　∴ z = [A^TA]^-1A^Ty
   　　例えば，データ，

       0  2.450
       1  2.615
       2  3.276
       3  3.294
       4  3.778
       5  4.009
       6  3.920
       7  4.267
       8  4.805
       9  5.656
   			

   を使用すると，以下に示すような結果が得られます．：　C/C++によるプログラム例　→　

   y = 0.310594 x + 2.409327

   

2. 2 次曲線のあてはめ
   　　直線の当てはめと同様にして，与えられたデータに最も合う 2 次曲線，

   y = a x² + b x + c
   を使用して予測を行うこともできます．

   y = [y₁ y₂ ･･･ y_n]^T
   z = [a b c]^T
   
   と置けば，先の場合と全く同様にして，以下の式で各係数を計算することができます．

   z = [A^TA]^-1A^Ty
   　　例えば，データ，

       10  28.2
       15  47.0
       20  44.4
       26  32.8
       32  20.8
       40   0.8
   			

   を使用すると，以下に示すような結果が得られます．：　C/C++によるプログラム例　→　

   y = -0.097596 x² + 3.701743 x + 6.245642