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予測

１．平均による予測
２．最小 2 乗法による予測
１．平均による予測

　　時系列データから先のデータを予測する方法の内，最も簡単な方法は，過去のデータの平均値を使用する方法です．平均値を利用する方法としては，以下のような方法があります．なお，以下の説明において，di を過去，または，新しく得られたデータ，Di を予測値とします．

  1. 単純平均法

    　　過去のデータ，

    di　　　i = 1, 2, ･･･, n

    の平均値，

    D = Σ di / n

    によって，予測する方法です．

  2. 移動平均法

    　　時間の経過と共に，平均の対象とするデータを徐々に変更していく方法です．例えば，3 つのデータを平均する場合は，以下のようになります．

    d1, d2, d3　→　D4 = (d1 + d2 + d3) / 3
    d2, d3, d4　→　D5 = (d2 + d3 + d4) / 3
    　　　　　　　　・・・・・

  3. 簡易指数平均法

    　　時間の経過と共に，対象とするデータに重みを付けて平均を取っていく方法です．具体的には，以下の式に従って，予測値を計算します．

    新予測値 = α (新しいデータ) + (1 - α) (旧予測値)

    例えば，以下のようにして計算します．

    D1 = d1
    D2 = α d2 + (1 - α) D1
    D3 = α d3 + (1 - α) D2
    　　　　　・・・・・

    α の値としては，最初，0.3 前後を使用し，落ち着いた時点で再設定をするという方法が良く使用されます．

２．最小 2 乗法による予測

  1. 直線のあてはめ

    　　過去のデータ，

    x1　y1
    x2　y2
    　・・・
    xn　yn

    から，これらのデータに最も合う直線，

    y = ax + b　　　(1)

    を求め，得られた直線から予測を行う方法です（この直線を，回帰直線と呼びます）．直線を決めるために，最小 2 乗法が使用されます．最小 2 乗法は，誤差の 2 乗の和，

    s = Σ (yi - axi - b)2
    　= [y - Az]T[y - Az]　　　(2)

    ただし，
    y = [y1 y2 ･･･ yn]T
    z = [a b]T
    を最小にするように，(1) 式の a, b を決定する方法です．具体的には，(2) 式を z で微分し，0 と置くことによって，以下の結果が得られます．

    ∂s/∂z = -2AT[y - Az] = 0　　　∴ z = [ATA]-1ATy

    　　例えば，データ， 
        0  2.450
    1  2.615
    2  3.276
    3  3.294
    4  3.778
    5  4.009
    6  3.920
    7  4.267
    8  4.805
    9  5.656
    を使用すると，以下に示すような結果が得られます．：　C/C++によるプログラム例　→　

    y = 0.310594 x + 2.409327

  2. 2 次曲線のあてはめ

    　　直線の当てはめと同様にして，与えられたデータに最も合う 2 次曲線，

    y = a x2 + b x + c

    を使用して予測を行うこともできます．

    y = [y1 y2 ･･･ yn]T
    z = [a b c]T

    と置けば，先の場合と全く同様にして，以下の式で各係数を計算することができます．

    z = [ATA]-1ATy

    　　例えば，データ， 
        10  28.2
    15  47.0
    20  44.4
    26  32.8
    32  20.8
    40   0.8
    を使用すると，以下に示すような結果が得られます．：　C/C++によるプログラム例　→　

    y = -0.097596 x2 + 3.701743 x + 6.245642

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