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在庫管理

  1. 1.在庫管理問題に関係する要因
  2. 2.在庫管理問題
  3. 3.確定需要,従属的
    1. 3.1 基本モデル
    2. 3.2 ロットサイズ決定問題
  4. 4.不確定需要,独立的
  5. 5.不確定需要,従属的

  ある商品を売ろうとした場合,それが売れるまではある程度の量をどこかに保管しておく必要があります.お客さんが来ても売るべき商品が無いような状態では,せっかくの商機を失うことにも成りかねません.しかし,保管するには,場所や費用がかかります.また,保管期間によって,商品価値が無くなるものも少なくありません.

  このように,「どの程度の在庫を持つべきか」,「何時,どのくらいの量を発注すべきか」等の問題を扱うのが,在庫管理の分野です.

1.在庫管理問題に関係する要因

  在庫管理問題を扱う当たって考慮しなければならない要因として以下のようなものがあげられます.

  1. 発注費生産段取り費: K

      商品の在庫管理の場合,発注量の多少に関わらずかかる費用を発注費といいます.例えば,通信費,書類作成費等がこれに当たります.また,製品の在庫管理の場合は,生産量の多少に関わりなくかかる費用に相当し,生産段取り費と呼びます.例えば,工作機械の再設定(部品の取り替え,ソフトの入れ替え等)に必要な時間・費用等がこれに当たります,

  2. 購入単価生産費用: c

      商品 1 単位を購入する費用(仕入れ価格,保険料,梱包費等)を購入単価,また,製品 1 単位を生産するために必要な価格(材料費,光熱費等)を生産費用と呼びます.

  3. 販売価格: p

      商品または製品 1 単位を販売する価格です.

  4. 品切れ損失: s

      お客さんが来たとき,お客さんが買いたい商品が品切れであれば,せっかくの得られるべき利益を無駄にしてしまいます.この損失は,必ずしも,一時的なものに留まりません.店の信用を失い,二度と来店してくれないようなことになれば,将来的に大きな損失を生むことになります.

  5. 在庫保持費用: h

      1 単位の商品・製品を,1 単位期間保管するために必要な費用です.この中には様々なものが含まれます.最も直接的なものは,倉庫の維持・管理費です.その他,保管することによる商品価値の低下もこの中に含まれます.また,在庫量に相当する金額を持っていれば,投資等によって利益が得られる可能性がありますが,在庫の状態では全く期待できません.このようにして失った利益もここに含まれます.

      在庫保持費用を h (一定),時刻 t における在庫量を g(t) とすると,期間 [a, b] における総在庫保持費用は,以下のようにして計算できます.

2.在庫管理問題

  在庫管理問題はいくつかのタイプに分類できます.まず,需要が確定しているか否かによって分類可能です.基本的に,需要が確定した方が問題は取り扱いやすくなります.

  また,ある時点の発注量が他の時点における発注量の影響を受けるか否か(従属的,または,独立的)によっても分類できます.他の時点における発注量の影響を受ける場合(従属的)とは,例えば,残っている在庫量によって,次回の発注量が影響を受ける場合です.また,独立的な場合とは,後に述べる新聞少年の例のように,前回発注して残ったものはすべて廃棄してしまうため,次回の発注量に影響を与えないような場合です.ここで影響というのは,在庫量による影響であり,「前回は多く発注しすぎたから,次回はもう少し減らすか」といった形で現れる影響は考慮しません.

  需要が確定的で,かつ,独立的な場合は,特に問題とすべきことがありませんので,以下の節では,次の 3 つの場合について順に検討していきます.

3.確定需要,従属的

3.1 基本モデル

  今,ある製品を売っている次のような例を考えてみます.

例1: 基本モデル
需要 = θ 単位 / 日
購入価格 = c / 単位   (購入個数に無関係)
発注費 = K (ただし,発注すれば即納入されるものとする)
在庫保持費用 = h / 単位・日

  問題は,単位時間あたりのコスト(単位時間あたりの発注費用と単位時間あたりの在庫保持費用の和)が最小になる発注量 q* ,発注間隔 t* 等を決定することになります.この最適な発注量を,経済的発注量EOQ: Economic Order Quantity )と呼びます.

  製品在庫問題として考えれば,いかなる量の生産も瞬間的に可能であるという条件の下で,最適な 1 回の生産における生産量(生産ロットサイズ),及び,生産間隔を決めることになります.この最適な生産ロットサイズを,経済的ロットサイズELS: Economic Lot Size )と呼びます.

  発注すれば即納入されるため,発注は在庫が 0 に成った時点で行えばよいことになります.また,在庫は,時間の経過と共に θ ずつ減少するので,在庫量の変化を図示すると下図のようになります.

上図より,発注量を q とすると,1 回の発注における総費用 V は,(発注費 + 在庫維持費用 + 購入費)ですので,以下のようになります.

また,単位時間あたりの費用 v は,総費用を発注間隔 q / θ で割ったものになりますので,以下のようになります.

この値を最小にする発注量 q* は,dv / dq = 0 より,以下のようになります.

3.2 ロットサイズ決定問題

  例1 においては,需要や購入価格は常に一定でしたが,ある期間毎に変動するような場合について考えてみます.

例2 : ロットサイズ決定問題
第 i 期の需要 = θi 単位   i = 1, 2, ・・・, n
第 i 期の製造単価 = ci / 単位
段取り費 = K (ただし,任意の量を一瞬に生産可能)
在庫保持費用 = h / 単位・期
  • 第 1 期が始まる時点で在庫は 0 であり,また,第 n 期が終了した時点においても,在庫は 0 でなければならない.
  • 品切れは許されない

  第 i 期の期末在庫量を si ,また,第 i 期の生産量を qi とすると,総費用 V は,

となります.ただし,

si = si-1 + qi - θi
s0 = 0,  sn = 0
Ki = K  for qi > 0
  = 0  for qi = 0

とします.

  この問題は,例1 のように簡単には解けません.最も一般的な解法は,動的計画法を使用する方法です.最適性の原理に従って,

Vi(ai) = min [fi(qi) + Vi-1(ai - qi)]   i = 2, ・・・, n   0 ≦ qi ≦ a   a は総需要
V1(a1) = min [K1 + h s0 + c1 q1] = f1(a1)   0 ≦ q1 ≦ a

のような再帰方程式に変換して,動的計画法を適用します.

  以下,具体的な例を使用して,ロットサイズ決定問題を動的計画法によって解いてみます.n = 6 とし,各データは,以下に示すとおりとします. → プログラム例

各期の需要(個): 40 35 50 20 30 35
各期の製造単価(万円/個): 10 10 10 10 10 10
段取り費(万円): 200
在庫保持費用(万円/個・期): 1

  段取り費が高く,それに比較して在庫保持費用が安いため,ある程度まとめて製造する方法が良いと思われます.実際,上のデータに対しては,以下のような解が得られます.
6 期: 総費用 2720 今期の生産量 0 今期の費用 35
5 期: 総費用 2685 今期の生産量 0 今期の費用 65
4 期: 総費用 2620 今期の生産量 0 今期の費用 85
3 期: 総費用 2535 今期の生産量 135 今期の費用 1550
2 期: 総費用 985 今期の生産量 0 今期の費用 35
1 期: 総費用 950 今期の生産量 75 今期の費用 950
		
  在庫保持費用を 0 にすれば,段取り費の関係上,1 期目にすべての量を生産してしまうのが最適になるはずです.実際,在庫保持費用を 0 にすると,以下のような結果が得られます.
6 期: 総費用 2300 今期の生産量 0 今期の費用 0
5 期: 総費用 2300 今期の生産量 0 今期の費用 0
4 期: 総費用 2300 今期の生産量 0 今期の費用 0
3 期: 総費用 2300 今期の生産量 0 今期の費用 0
2 期: 総費用 2300 今期の生産量 0 今期の費用 0
1 期: 総費用 2300 今期の生産量 210 今期の費用 2300
		
  逆に,在庫保持費用を大きくすれば,在庫量を減らすため,できるだけ各期毎に生産する方法が良いと思われます.実際,在庫保持費用を 20 にすると,以下のような結果が得られます.
6 期: 総費用 3300 今期の生産量 35 今期の費用 550
5 期: 総費用 2750 今期の生産量 30 今期の費用 500
4 期: 総費用 2250 今期の生産量 20 今期の費用 400
3 期: 総費用 1850 今期の生産量 50 今期の費用 700
2 期: 総費用 1150 今期の生産量 35 今期の費用 550
1 期: 総費用 600 今期の生産量 40 今期の費用 600
		

4.不確定需要,独立的

  需要が不確定で,かつ,発注量が他の時点の発注量の影響を受けない問題として,有名な「新聞少年の問題」が存在します.新聞少年の問題とは,以下の条件の下で,最適な発注量を決める問題です.

仕入れ値段: c 円
販売価格: p 円
品切れ損失: s 円
売れ残り: d 円で処分,ただし,d < c < p
毎日の客数: y 人
客数が y である確率(確率関数): f(y)  y = 0, 1, 2, ・・・
客数が y 以下である確率(確率分布関数): F(y) = f(0) + f(1) + ・・・ + f(y)
平均客数: μ 人

  以下,この問題を解いてみます.まず,新聞を x 部を仕入れたときの期待利益 v(x) は,

v(x) = (期待収入) + (売れ残りに対する期待収入)
    - (仕入れ価格) - (期待品切れ損失)

= (客数がx人未満 + 客数がx人以上) + (売れ残りに対する期待収入)
    - (仕入れ価格) - (期待品切れ損失)

となります.v(x) の差分をとると,

となります.この値は,一般に,(p + s - c) < (p + s - d) であるため,x が ∞ になる( F(x-1) = 1 )と,負の値になります.しかし,x の値が小さいときは,F(x-1) の値が小さいため正の値を取ります.つまり,正の値から徐々に減少し,負の値になっていくことになります.

  したがって,v(x) は,x がいずれかの値,つまり,関係,

v(x) - v(x-1) >= 0,かつ,v(x+1) - v(x) <= 0

を満足する x の値で最大になります.つまり,仕入れ部数 x は,以下の式を満足させるように決めればよいことになります.

また,

c1 = (p - c) + s: 品切れが 1 部発生するときの機会損失
c1 = c - d: 1 部売れ残るときの機会損失

とおくと,以下のようにも書けます.

  客数が連続分布をする(連続分布で近似できる場合)は,(1) 式は以下のようになります.

v(x) の最大値を求めるため,x で微分し 0 とおくと,以下の結果が得られます.

   

  ここで,具体的な問題を解いてみます.各データは以下の通りとします.

仕入れ値段: c = 30 円
販売価格: p = 70 円
品切れ損失: s = 0 円
売れ残り: d = 0 円で処分
毎日の客数: 平均 200,標準偏差 50 の正規分布 N(200, 502) で近似

(2) 式の値を計算すると,

となります.従って,P( X ≦ x ) = 0.5714 となる x を求めることになります.標準正規分布のばあいは,0.1799 となりますので,N(200, 502) の場合は,標準化変換の逆を行い,

x = 50 * 0.1799 + 200 = 208.995

となり,最適仕入れ部数は,209 部となります.

5.不確定需要,従属的

  例1 をもう少し実際的なものに変更してみます.

例3 : 実際的な問題
需要 = θ 単位 / 日   θ は,N(μ, σ2)
購入価格 = c / 単位   (購入個数に無関係)
発注費 = K
納入期間 = L 日間
在庫保持費用 = h / 単位・日
品切れの危険率 = δ

  以下,上にあげた不確定需要,かつ,従属的な問題を解く方法について簡単に説明します.ただし,以下の解法は,厳密な最適解を求めるためのものではありません.

  1. 定量発注方式(発注点方式)

      納入期間 L を 0 とおき,かつ,需要として平均値を使用すると,経済的発注量は,以下のようになります.

      納入に L 日かかるため,L 日前に発注する必要があります.つまり,入荷した q* 単位の在庫が Lμ 単位に達っしたら,新たに q* 単位を発注することになります.

      以上の計算では,需要の平均値を使用しているため,納入期間中に品切れが起きる確率は 0.5 になります.品切れの確率を 0.5 より小さく(この例では,δ)するためには,余裕を持って,在庫が Lμ より多い時点,つまり,在庫が Lμ + X ( X : 安全在庫)となった時点で発注する必要があります.また,この X は,

    P( L 日間の需要 > Lμ+X ) < δ

    となるように決定する必要があります.

      L 日間における需要は,平均 = Lμ,分散 = Lσ2 の正規分布をします.したがって,標準正規分布の100α%点( α = δ )を p とすると,

    となります.つまり,在庫が上記の値になったとき,q* 単位を発注することになります.

  2. 定期発注方式

      発注間隔 T を決め,その時点における発注量 q を将来の需要予測に基づいて決めます.

    1. 納入期間 L < 発注間隔 T である場合

        t0 における発注量 q は,次の発注時点 t1(= t0 + T)における発注品が納入される時点 t2(= t1 + L)までの需要を満たす必要があります.この期間の平均需要は,(L + T)μ となりますので,発注量 q は,以下のようになります.

      q = (L + T)μ - (発注時点 t0 における在庫量)

    2. 納入期間 L > 発注間隔 T である場合

        上とほぼ同様の検討から,発注量 q は,以下のようになります.

      q = (L + T)μ - (t0 における在庫量) - (t0 以前に発注したもので期間中に入荷する量)

      安全在庫を見込む場合は,標準正規分布の100α%点を p とすると,上で計算した量に,

    を加えたものが実際の発注量になります.

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