合成関数の微分の連鎖律

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f'(x)は、f(x)をxについて微分した事を示す。f(x)が合成関数である場合、f(x)の一部g(x)を=u等とおき、連鎖律を使って微分する。
以下はy=f(x)とした場合の連鎖律を示す。y=f(x)のとき、yをxについて微分する事をdy/dxと書く。f(x)の一部をu=g(x)と置けば、これをxについて微分するのはdu/dxとなる。

普通の分数の計算と同じ様に、分母と分子が相殺されてイコールになる様子が分かる。以下は具体例である。

もう一つ、具体例を示す。

f(x)÷g(x)の商の導関数の公式は、以下のように合成関数として導く事が出来る。二段目で積の導関数の公式を使っている。

合成関数の微分については、どのような状態の式が合成関数に当たるのかを考える必要が出て来る。
例えば、全体の式が或る式のn乗になっている(冪根の場合も含めて)場合等は該当する。
また、三角関数の角度の部分が或る式になっている場合も該当する。
或る式の指数部分に別の式がある場合も該当する。
合成関数はさらにy=f(g(h(x)))のような、三重の構造も考えられる(勿論、四重以上も在り得る)。この場合は、さらに以下のような計算をする事になる。